علي الشوك الكلمة اللاتينية للانهاية هي infinitus، وتعني "لا محدود"، واليونانية apeiron، وتعني "لا محدود" أيضاً. وهذه الكلمة اليونانية لها مدلولات سلبية عند اليونانيين . فقد تعني "تشوش كامل" وتستعمل لوصف الفوضى أو حالة الشواش التي نشأ منها العالم،
بحسب الفلسفة اليونانية. أو تستعمل لوصف خط غير مستقيم. وعند الإغريق إن الكمال هو في الأشياء المحدودة. لهذا يرى أرسطو أن اللانهاية هي "الافتقار إلى الكمال". ومن ثم لم تكن ثمة أهمية للانهاية عند هذا الفيلسوف، ومن سبقه من المفكرين اليونانيين، مثل فيثاغورس، وأفلاطون. لكن أرسطو كان يدرك أن هناك أشياء كثيرة في العالم تبدو لا نهائية. rnومعروفة قصة زينو حول السباق بين آخيل والسلحفاة، وكيف أن السلحفاة تكون هي الفائزة في السباق في آخر المطاف، لأن آخيل لن يصل إلى هدفه إذا قطع أنصاف المسافات . وهذا مثل قولنا إننا لا نستطيع مغادرة الغرفة التي نحن فيها. ويعلل زينو ذلك في قوله لأجل أن تصل إلى الباب ينبغي  عليك أولاً قطع نصف المسافة. ولأجل المضي في سيرك إلى الباب يتعين عليك أن تقطع نصف المسافة المتبقية، وهكذا... وهذا يذكرنا بالمتوالية التالية 1/2 +1/4+1/8... إلى ما لانهاية، حيث يبدو أن المجموع لا يساوي (1). لكن حلّنا العصري لهذه المغالطة يؤكد إن مجموع هذه المتوالية هو (1). وذلك إذا طبقنا قانون الغايات. وهنا يمكننا القول لما كانت الخطوات المتتابعة تتم دائماً بنصف الوقت السابق لكل خطوة، فإن الزمن الحقيقي المستغرق لإنجاز المتوالية اللانهائية لا يختلف عن الزمن الحقيقي المستغرق للخروج من الغرفة.وكان جون والس هو الذي ابتكر رمز اللانهاية في 1655، وهو العدد ثمانية برسمه الأوروبي (8) مطروحاً بصورة أفقية. واللانهاية تتطور في الرياضيات بوسائل مختلفة:(1) في الغايات: وذلك عند قسمة كمية على صفر، فالنتيجة تساوي ما لا نهاية. ولتلافي ذلك، لأن اللانهاية شيء غير مرغوب فيه في المعادلات، ابتكرت فكرة الغاية ، حيث نقول أن غاية الكمية المتناهية الصغر عندما نقسم أي مقدار عليها، هي صفر. وبذلك نتلافى الحصول على اللانهاية، ما دامت الكمية المتناهية الصغر ليست صفراً في واقع الحال، بل هي شيء غايته صفر. إنه تحايل ذكي تم بواسطة حل إشكالات حساب التفاضل والتكامل. (2) في الهندسة، تعتبر اللانهاية "موقعاً": على سبيل المثال يمكننا القول إن الخطوط المتوازية تتقاطع في نقطة اللانهاية. (3) في نظرية المجموعات. وهنا تدخل عالم المفارقات في موضوع اللانهاية، وبالذات في موضوع المجموعات اللانهائية، وهي المجموعات التي يمكن وضع أجزائها في مقابل أجزاء متفرعاتها. على سبيل المثال إن مجموعة الأعداد الطبيعية  لا نهائية لأننا نستطيع أن نضع أجزاءها في مقابل أجزاء مجموعة الأعداد الزوجية المتفرعة منها. ومن ثم يمكننا القول إن أي نظام (ن) يعتبر نهائياً عندما يكون مشابهاً لجزء ملائم منه. في هذا الإطار كان الرياضي بولزانو (1781-1848) مخطئاً عندما تصور أن المساحات المغلقة تحتوي على نقاط أكثر من الخطوط التي تشكل محيطها. وهنا أكد أغسطوس دي مورغان في ما يتعلق بخواص المجموعات اللانهائية أن الجزء يمكن أن يكون مساوياً للكل.      ومن بين المواضيع المهمة في دراسة طبيعة اللانهاية كانت المناقشة التالية التي طرحها غاليليو في 1638 في كتابه الشهير (وجهتا نظر في العلم): كل عدد موجب، له مربع كامل واحد فقط، وعلى العكس، كل ربع كامل هو مربع لعدد موجب واحد فقط في هذا الاطار،إذن، هناك مربعات كاملة بقدر عدد الاعداد الموجبة. لكن مما يدعو للدهشة، مع ذلك، ان هذا سيتعارض مع البديهية القائلة بأن الكل أكبر من الجزء، لأن الاعداد الموجبة ليست كلها مربعات كاملة، وان المربعات الكاملة تشكل جزءاً من الاعداد الموجبة كلها. هنا وضع غاليليو يده على خواص المجموعات اللانهائية،لكنه حار بشأنها، بدل ذلك استنتج ان العلاقات التي تدل على "الاكبر"،و"المساوي"،و"الأصغر"لا تسري على الكميات اللانهائية.لكن مما يثير الدهشة ان كانتور (1845 ـ 1918) أثبت ان النقاط في مساحة ما مهما كانت كبيرة ( أو في حجم ما) يمكن مساواتها مع نقاط على قطعة مستقيم، مهما كان صغيراً. من جهة أخرى تعامل كانتور مع لا نهايات مختلفة. فهناك مجموعة لا نهائية أكبر من أخرى، وهذه أكبر من غيرها، الخ. على سبيل المثال ان مجموعة الاعداد الحقيقية أكبر من مجموعة الاعداد الـمُنطّقة او الاعداد الصماء...  على ان الفلاسفة لديهم تحفظات على اللانهاية الرياضية عند كانتور. وقد تعزز شكهم بعد ان ظهر ان رياضيات المجموعات واجهت الكثير من المفارقات، كالمفارقة التي طرحها برتراند رسل في 1902: هل إن كل المجموعات التي ليست أعضاء في نفسها عضو في نفسها؟ فإذا كان الجواب "نعم"، أو "لا" فإننا سنحصل على تناقض.لإيضاح ذلك نقول أن المكتبة هي مجموعة كتب، فهي ليست عضواً في نفسها، لأنها ليست كتاباً. وكذلك مجموعة "كل المقطوعات الموسيقية" هي ليست عضواً في نفسها ل